Einstieg in das Thema
Was brauchst du als Basiswissen?
Du kannst rekursive Regeln mehrfach anwenden und dabei verschiedene
Stufen oder Generationen unterscheiden.
Worum geht es?
Eine kurze Regel kann nach mehreren Rekursionsschritten eine sehr
komplexe Figur erzeugen. Wir untersuchen dies am Sierpinski-Dreieck
und bereiten den Übergang zu L-Systemen vor.
Was ist das Ziel?
Du kannst Entwicklungsstufen eines geometrischen Musters erzeugen,
Gemeinsamkeiten beschreiben und erklären, warum nicht jede Stufe
einzeln beschrieben werden muss.
Erarbeitung
Einstiegsaufgabe
Öffne im Applet das Sierpinski-Dreieck. Beginne bei Stufe 0 und
erhöhe die Stufe langsam.
Aufgabe 1
Zeichne die Stufen 0, 1 und 2 auf kariertes Papier.
Aufgabe 2
Markiere in jeder Stufe ein Dreieck, das wie die Gesamtfigur aufgebaut ist.
Aufgabe 3
Notiere zunächst nur Beobachtungen. Formuliere noch keine Regel.
Aufgaben
Aufgabe 4
Bringe die Schritte in eine sinnvolle Reihenfolge und kennzeichne Start, Rekursionsschritt und Abbruchbedingung:
- Wende die Regel auf jedes verbliebene Dreieck an.
- Höre nach der vereinbarten Stufe auf.
- Entferne das mittlere der vier kleinen Dreiecke.
- Beginne mit einem gefüllten Dreieck.
- Teile jedes vorhandene Dreieck in vier gleich große Dreiecke.
Aufgabe 5
Formuliere danach die vollständige Vorschrift in höchstens vier eigenen Sätzen.
Aufgabe 6
Wie viele gefüllte Dreiecke sind in den Stufen 0, 1, 2 und 3 zu erkennen, wenn nur die jeweils kleinsten gezählt werden?
Aufgabe 7
Erkläre, warum sich die Anzahl bei jeder Stufe verdreifacht.
Aufgabe 8
Sage die Anzahl für Stufe 4 voraus.
Aufgabe 9
Kann es ein Sierpinski-Dreieck mit 300 gefüllten Dreiecken geben?
Zeichne eine weitere rekursive Figur.
Aufgabe 10
Beginne mit einer Strecke. Teile sie in drei gleiche Teile. Ersetze das mittlere Drittel durch zwei Strecken, die zusammen eine Spitze bilden.
Aufgabe 11
Wende dieselbe Regel erneut auf jede entstandene Strecke an. Ein Lineal ist empfehlenswert, wenn du nicht auf dem Tablet zeichnest.
Aufgabe 12
Zeichne daneben noch eine weitere Stufe.
Aufgabe 13
Gib eine sinnvolle Abbruchbedingung für das Zeichnen von Hand an.
Aufgabe 14
Vergleiche diese Koch-Kurve mit dem Sierpinski-Dreieck.
Du hast beim Sierpinksi-Dreieck Teildreiecke nach bestimmten Kriterien
weggenommen. Das kann man auch bei anderen Figuren machen.
Aufgabe 15
Zeichne ein Quadrat. Das ist der Start.
Aufgabe 16
Teile dies gleichmäßig in 3x3 Quadrate.
Aufgabe 17
Wie könnte es weitergehen?
Nun kommen formale Zeichenregeln. Zuerst wendest du sie nur
an, danach wirst du sehen, was sie bedeuten.
Start: F
Regel: F → F+F−F
Die Zeichen + und − besitzen keine eigene Regel und bleiben stehen.
Aufgabe 18
Erzeuge Generation 1.
Aufgabe 19
Ersetze in Generation 1 jedes F und erzeuge Generation 2.
Aufgabe 20
Beginne Generation 3 und brich nach den ersten 30 Zeichen ab.
Aufgabe 21
Erkläre, warum dies eine rekursive Ersetzung ist.
Stelle dir nun folgende spätere Bedeutung vor:
- F: Gehe ein Stück vorwärts und zeichne dabei.
- +: Drehe dich um einen festen Winkel nach links.
- −: Drehe dich um denselben Winkel nach rechts.
Aufgabe 22
Skizziere F und danach ohne Anspruch auf Genauigkeit, welche Art von Weg aus `F+F−F` entstehen könnte.
Aufgabe 23
Beschreibe, was passieren würde, wenn jedes F erneut durch `F+F−F` ersetzt wird. Vergleiche dies mit deinen Ersetzungen aus der obigen Aufgabe.
Rückblick und Ausblick
Was muss man wissen und können?
- Dieselbe einfache Regel kann viele Entwicklungsstufen erzeugen.
- Selbstähnliche Teile ähneln der gesamten Struktur.
- Komplexität kann aus wenigen wiederholt angewendeten Regeln entstehen.
- Eine gewünschte Stufe oder Mindestgröße kann als Abbruch dienen.
- Ersetzungsregeln können später in Zeichenanweisungen übersetzt werden.
Abschlussgedanke
Erkläre in drei bis fünf Sätzen:
„Wie kann eine kurze Regel eine komplizierte Struktur erzeugen?“
Verwende dabei die Begriffe Start, Rekursionsschritt, Generation
und Abbruchbedingung.
Was folgt als Nächstes?
Natürlich kommt erst einmal nur eine Prüfung.
In einem Kurs zu L-Systemen erhalten Zeichen wie F, + und − eine
grafische Bedeutung. Aus rekursiv erzeugten Zeichenketten entstehen
dann Wege, Pflanzen und andere Bilder.