05 Boolesche Ausdrücke vereinfachen

Orientierung

Worum geht es?

Ein Boolescher Ausdruck kann unnötig lang sein. Mithilfe der Gesetze lässt er sich oft kürzer schreiben, ohne dass sich seine Ergebnisse ändern.

Warum ist das wichtig?

In der Informatik können Boolesche Ausdrücke digitale Schaltungen beschreiben. Ein kürzerer Ausdruck kann weniger Gatter, Leitungen und Rechenschritte benötigen.

Was ist das Ziel?

Du kannst einfache Ausdrücke schrittweise vereinfachen, jeden Schritt begründen und das Ergebnis durch eine Wahrheitstabelle kontrollieren.

Erarbeitung

Theoretische Einführung

Checkliste (für die KI oder den Lehrer)

  • Gleichwertig bedeutet: gleiche Ergebnisse bei jeder Belegung
  • Pro Zeile möglichst nur ein Gesetz anwenden
  • Verwendetes Gesetz rechts neben den Schritt schreiben
  • Zuerst nach Grundgesetzen und doppelten Teilen suchen
  • Bei Bedarf vertauschen, klammern, verteilen oder ausklammern
  • Absorption und De Morgan gezielt erkennen
  • Es kann mehrere richtige Rechenwege geben
  • Ergebnis durch Wahrheitstabelle kontrollieren
  • Operatoren als grobes Maß für den Schaltungsaufwand zählen

Aufgaben

Vereinfache mit genau einem Gesetz.

Aufgabe 1
a ∨ (a ∧ b)
Aufgabe 2
x ∧ 1
Aufgabe 3
¬(¬y)
Aufgabe 4
b ∨ ¬b
Aufgabe 5
c ∧ c

Vereinfache vollständig. Schreibe zu jeder Zeile das Gesetz.

Aufgabe 6
(a ∨ 0) ∧ (a ∨ b)
Aufgabe 7
(x ∧ x) ∨ (x ∧ 0)
Aufgabe 8
¬(¬a) ∨ (a ∧ b)
Aufgabe 9
(b ∨ ¬b) ∧ (a ∨ 0)
Aufgabe 10
(a ∧ 1) ∨ (a ∧ ¬a)

Aufgabe 3: Ausklammern

Vereinfache durch Ausklammern Hinweis: Beim zweiten Ausdruck wird das zweite Distributivgesetz rückwärts angewendet.

Aufgabe 11
(a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬b)
Aufgabe 12
(x ∨ y) ∧ (x ∨ ¬y)
Aufgabe 13
(¬a ∧ b) ∨ (¬a ∧ ¬b)

Aufgabe 4: Fehlerhafte Vereinfachung

Ein Schüler rechnet: (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) = a ∧ b ∨ c

Aufgabe 14
Finde den Fehler!
Aufgabe 15
Gib die richtige vereinfachte Form an.
Aufgabe 16
Finde eine Belegung, bei der der falsche und der richtige Ausdruck verschiedene Ergebnisse liefern.

Vereinfache so weit wie möglich. Verwende zuerst De Morgan und danach passende Grundgesetze.

Aufgabe 17
¬(a ∨ 0)
Aufgabe 18
¬(a ∧ 1)
Aufgabe 19
¬(a ∨ ¬a)
Aufgabe 20
¬(a ∧ ¬a)

Aufgabe 6: Schaltungsaufwand vergleichen

Du weißt vielleicht schon, dass es elektronische Schaltungen gibt, welche mit Logikbausteinen arbeiten. Diese funktionieren wie UND, ODER oder NICHT. Wir zählen jedes ∧, ∨ und ¬ als einen Baustein.

Aufgabe 21
Wie viele Bausteine benötigt (a ∧ 1) ∨ (a ∧ b)?
Aufgabe 22
Vereinfache den Ausdruck und zähle erneut.
Aufgabe 23
Wie viele Bausteine werden eingespart?
Aufgabe 24
Warum kann eine einfachere Schaltung praktisch vorteilhaft sein?

Du kannst wieder die Ergebnisse der Aufgaben kontrollieren. Gib links einen ursprünglichen und rechts deinen vereinfachten Ausdruck ein. Das Applet zeigt, ob beide bei jeder Belegung denselben Wert haben.

Rückblick und Ausblick

Was muss man wissen und können?

  • Jeder Umformungsschritt muss durch ein Gesetz begründet sein.
  • Gleichwertige Ausdrücke liefern für alle Belegungen dieselben Werte.
  • Wahrheitstabellen eignen sich zur Kontrolle.
  • Vereinfachte Ausdrücke können zu einfacheren Schaltungen führen.

Strategie zum Vereinfachen

  1. Grundgesetze und doppelte Teile suchen.
  2. Bei Bedarf vertauschen oder neu klammern.
  3. Absorption erkennen oder gemeinsame Teile ausklammern.
  4. Negierte Klammern mit De Morgan bearbeiten.
  5. Ergebnis mit einer Wahrheitstabelle prüfen.

Was können anschließende Themen sein?

Die Gesetze können nun auf konkrete logische Schaltungen oder auf anspruchsvollere Boolesche Funktionen angewendet werden.