02 Der Kreis

Einstieg in das Thema

Was brauchst du als Basiswissen?

Du brauchst den Satz des Pythagoras und solltest Quadrate, Wurzeln und Koordinaten sicher verwenden können.

Worum geht es?

Alle Punkte eines Kreises haben vom Mittelpunkt denselben Abstand. Diese einfache Eigenschaft führt direkt zu einer Gleichung für den ganzen Kreis.

Was ist das Ziel?

Du beschreibst einen Kreis durch Mittelpunkt und Radius. Du liest beide Größen aus seiner Gleichung ab und stellst zu einer Zeichnung eine Kreisgleichung auf.

Erarbeitung

Theorie

Aufgaben

Aufgabe 1
Stelle M(0|0) und r = 4 ein. Notiere die Gleichung und prüfe durch Einsetzen, ob P(0|4), Q(4|0) und R(3|3) darauf liegen.
Aufgabe 2
Verändere nur den Radius. Erkläre, welche Zahl sich in der Gleichung ändert und warum dort nicht der Radius selbst steht.
Aufgabe 3
Verschiebe den Mittelpunkt nach rechts und anschließend nach oben. Formuliere eine Regel für die Vorzeichen in den beiden Klammern.
Aufgabe 4
Stelle den Kreis mit M(3|-2) und r = 4 ein. Notiere seine Gleichung und lies sie anschließend rückwärts wieder aus.
Aufgabe 5
Zeichne den Kreis (x + 2)² + (y − 1)² = 9 in ein Koordinatensystem. Kontrolliere deine Zeichnung im Applet.
Aufgabe 6
Stelle eine Gleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt M(-4|3) auf, der durch den Punkt P(-1|3) verläuft.
Aufgabe 7
Begründe, warum eine senkrechte Gerade einen Kreis an zwei Punkten schneiden kann und der ganze Kreis deshalb kein Funktionsgraph von x ist.
Aufgabe 8
Löse x² + y² = 25 nach y auf. Erkläre, warum zwei Terme benötigt werden, um oberen und unteren Halbkreis zu erhalten.

Zusammenfassung

Was muss man wissen/können?

Ein Kreis mit Mittelpunkt M(h|k) und Radius r besitzt die Gleichung (x − h)² + (y − k)² = r². Mittelpunktkoordinaten erscheinen mit umgekehrtem Vorzeichen in den Klammern. Ein Kreis ist als Ganzes kein Funktionsgraph von x.

Was können anschließende Themen sein?

Werden waagerechter und senkrechter Radius unterschiedlich groß, entsteht eine Ellipse. Ihre Gleichung ähnelt deshalb der Kreisgleichung.