03 Die Ellipse

Einstieg in das Thema

Was brauchst du als Basiswissen?

Du solltest Kreisgleichungen lesen können und den Satz des Pythagoras sowie Wurzeln und Quadrate kennen.

Worum geht es?

Eine Ellipse sieht wie ein gestreckter Kreis aus. Sie kann aber auch über zwei besondere Punkte beschrieben werden: Die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten bleibt immer gleich.

Was ist das Ziel?

Du konstruierst und beschreibst Ellipsen. Du liest Mittelpunkt und Halbachsen aus einer Ellipsengleichung ab und bestimmst die Lage ihrer Brennpunkte.

Erarbeitung

Theorie

Aufgaben

Aufgabe 1
Befestige eine geschlossene Schnur locker an zwei Punkten auf einem Blatt. Spanne sie mit einem Stift und zeichne eine ganze Kurve. Erkläre, warum die Abstandssumme dabei gleich bleibt.
Aufgabe 2
Stelle M(0|0), a = 5 und b = 3 ein. Notiere die Gleichung und lies die vier äußersten Punkte der Ellipse ab.
Aufgabe 3
Verändere nur a und danach nur b. Beschreibe jeweils die Änderung an Zeichnung und Gleichung.
Aufgabe 4
Stelle a = b ein. Erkläre anhand der Gleichung, warum nun ein Kreis entsteht und wo seine beiden Brennpunkte liegen.
Aufgabe 5
Zeichne die Ellipse x²/36 + y²/16 = 1. Berechne c und gib die Koordinaten der beiden Brennpunkte an. Kontrolliere im Applet.
Aufgabe 6
Lies Mittelpunkt und Halbachsen aus (x − 2)²/9 + (y + 1)²/25 = 1 ab und skizziere die Ellipse.
Aufgabe 7
Stelle die Gleichung einer Ellipse mit M(-2|3), waagerechter Halbachse 4 und senkrechter Halbachse 2 auf.
Aufgabe 8
Untersuche zwei Ellipsen mit gleichen Halbachsen, aber verschiedenen Mittelpunkten. Erkläre, welche Eigenschaften sich durch die Verschiebung nicht ändern.

Zusammenfassung

Was muss man wissen/können?

Für eine Ellipse mit Mittelpunkt M(h|k) gilt (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1. Die Nenner enthalten die Quadrate der Halbachsen. Die Brennpunkte liegen auf der größeren Achse; ihre lineare Exzentrizität erfüllt c² = |a² − b²|.

Was können anschließende Themen sein?

Die Parabel besitzt keinen Mittelpunkt, sondern einen Scheitelpunkt. Auch sie lässt sich durch einen Brennpunkt und einen festen Abstand beschreiben.