Einstieg in das Thema
Was brauchst du als Basiswissen?
Du solltest Koordinaten ablesen und einfache quadratische
Funktionen in Scheitelpunktform untersuchen können.
Worum geht es?
Eine Parabel entsteht beim Grenzschnitt parallel zu einer
Mantellinie des Kegels. Alle ihre Punkte haben denselben Abstand
zu einem Brennpunkt und zu einer festen Geraden.
Was ist das Ziel?
Du beschreibst Lage, Öffnung und Breite einer Parabel mithilfe
ihrer Scheitelpunktform. Außerdem erklärst du ihre geometrische
Bedeutung mit Brennpunkt und Leitgerade.
Erarbeitung
Aufgaben
Aufgabe 1
Stelle S(0|0) und a = 1 ein. Vergleiche danach a = 0,5 und a = 2. Formuliere eine Regel für die Wirkung von |a|.
Aufgabe 2
Wechsle bei unverändertem Scheitelpunkt die Öffnungsrichtung. Beschreibe die Änderung in der Zeichnung und in der Gleichung.
Aufgabe 3
Verschiebe den Scheitelpunkt einzeln nach rechts, links, oben und unten. Erkläre die Wirkung von h und k in der Gleichung.
Aufgabe 4
Skizziere y = 0,5(x − 3)² − 2. Markiere den Scheitelpunkt und kontrolliere deine Zeichnung im Applet.
Aufgabe 5
Bestimme Scheitelpunkt, Öffnungsrichtung und Streckfaktor der Parabel y = -2(x + 1)² + 4.
Aufgabe 6
Stelle eine Gleichung für eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitel S(-2|1) und Streckfaktor a = 0,25 auf.
Aufgabe 7
Stelle S(0|0) und a = 0,5 ein. Lies Brennpunkt und Leitgerade ab und prüfe für einen selbst gewählten Parabelpunkt, ob beide Abstände gleich sind.
Aufgabe 8
Erkläre, warum ein Scheinwerfer seine Lichtquelle im Brennpunkt eines parabelförmigen Spiegels besitzt.
Die seitlich geöffnete Parabel ist eine Ergänzung zum
vollständigen Bild der Kegelschnitte. Sie ist nicht Bestandteil
der Prüfung.
Aufgabe 9
Schalte im Applet auf „Links oder rechts“ um. Vergleiche die seitlich geöffnete Parabel mit der bisherigen Form und erkläre, warum sie kein Funktionsgraph y = f(x) ist.
Aufgabe 10
Stelle S(0|0), p = 2 und die Öffnung nach rechts ein. Notiere die Gleichung, den Brennpunkt und die Leitgerade.
Aufgabe 11
Verändere im Zusatzmodus nur das Vorzeichen von p. Beschreibe, was sich an Parabel, Brennpunkt und Leitgerade ändert.
Zusammenfassung
Was muss man wissen/können?
Die Scheitelpunktform lautet y = a(x − h)² + k. Der
Scheitelpunkt ist S(h|k). Das Vorzeichen von a bestimmt die
Öffnungsrichtung, sein Betrag die Breite. Jeder Parabelpunkt hat
denselben Abstand zum Brennpunkt wie zur Leitgeraden. Parabeln
können auch seitlich geöffnet sein; diese Ergänzung ist nicht
prüfungsrelevant.
Was können anschließende Themen sein?
Als letzter Kegelschnitt folgt die Hyperbel. Sie besitzt wie die
Ellipse zwei Brennpunkte, besteht aber aus zwei getrennten Ästen.