05 Die Hyperbel

Einstieg in das Thema

Was brauchst du als Basiswissen?

Du solltest Gleichungen von Kreis und Ellipse lesen können. Du brauchst außerdem Quadrate, Wurzeln und Koordinaten.

Worum geht es?

Eine Hyperbel entsteht, wenn die Ebene beide Hälften eines Doppelkegels schneidet. Ihre zwei Äste nähern sich festen Geraden an und besitzen eine besondere Beziehung zu zwei Brennpunkten.

Was ist das Ziel?

Du erkennst Hyperbeln, liest Mittelpunkt und Größen aus ihrer Gleichung ab und erklärst die Bedeutung von Brennpunkten und Asymptoten.

Erarbeitung

Theorie

Aufgaben

Aufgabe 1
Stelle M(0|0), a = 3 und b = 2 ein. Notiere die Gleichung und lies Scheitelpunkte, Brennpunkte und Asymptoten aus der Zeichnung ab.
Aufgabe 2
Verändere zunächst nur a und danach nur b. Beschreibe jeweils, wie sich die Äste und die Asymptoten verändern.
Aufgabe 3
Wechsle zwischen waagerechter und senkrechter Öffnung. Erkläre, wie du die Öffnungsrichtung bereits an der Gleichung erkennst.
Aufgabe 4
Vergleiche x²/25 + y²/9 = 1 und x²/25 − y²/9 = 1. Ordne die Gleichungen einer Ellipse und einer Hyperbel zu und begründe.
Aufgabe 5
Skizziere (x − 2)²/16 − (y + 1)²/9 = 1. Markiere Mittelpunkt und Scheitelpunkte und kontrolliere im Applet.
Aufgabe 6
Berechne für x²/9 − y²/16 = 1 die lineare Exzentrizität c und gib die Koordinaten der Brennpunkte an.
Aufgabe 7
Stelle die Gleichung einer waagerecht geöffneten Hyperbel mit M(-1|2), a = 4 und b = 3 auf.
Aufgabe 8
Erkläre mit eigenen Worten, was eine Asymptote ist und warum die beiden Geraden zur Form einer Hyperbel passen.

Zusammenfassung

Was muss man wissen/können?

Bei einer waagerechten Hyperbel gilt (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1. Der Mittelpunkt ist M(h|k). Der positive Bruch zeigt die Öffnungsrichtung. Die Brennpunkte erfüllen c² = a² + b². Die Äste nähern sich ihren Asymptoten an.

Was können anschließende Themen sein?

Nun können alle vier Kegelschnitte anhand ihrer Form, geometrischen Eigenschaften und Gleichungen verglichen werden. Danach folgt die Vorbereitung auf die Prüfung.