06 Vorbereitung auf die Prüfung zu den Kegelschnitten

Einstieg in das Thema

Was brauchst du als Basiswissen?

Du benötigst die Inhalte der fünf vorherigen Arbeitsblätter. Besonders wichtig sind die vier Schnittformen, ihre geometrischen Eigenschaften und ihre Gleichungen.

Worum geht es?

Du lernst typische Prüfungsaufgaben der Stufen 1 und 2 kennen. Vergleiche deinen Lösungsweg mit den Beispielen und bearbeite anschließend die Übungsaufgaben ohne Lösung.

Was ist das Ziel?

Du erkennst, welche Angaben eine Aufgabe enthält, wählst die passende Gleichung und kannst deine Entscheidung kurz begründen.

Erarbeitung

Gelöste Beispiele der Stufe 1

  • Beispiel: Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises (x + 4)² + (y − 2)² = 25.

Lösung: In den Klammern stehen die Mittelpunktkoordinaten mit umgekehrtem Vorzeichen. Daher ist M(-4|2). Rechts steht r² = 25, also ist r = 5.

  • Beispiel: Gib Scheitelpunkt und Öffnungsrichtung der Parabel y = -1,5(x − 2)² + 3 an.

Lösung: Aus den Klammern und dem letzten Summanden folgt S(2|3). Der Streckfaktor ist negativ. Deshalb ist die Parabel nach unten geöffnet.

Übungsaufgaben der Stufe 1

Aufgabe 1
Nenne die geometrische Eigenschaft, durch die eine Ellipse mit ihren beiden Brennpunkten beschrieben wird.
Aufgabe 2
Bestimme die Öffnungsrichtung der Hyperbel (y − 1)²/16 − (x + 2)²/9 = 1.

Gelöste Beispiele der Stufe 2

  • Beispiel: Eine Ellipse besitzt M(1|-2), die waagerechte Halbachse 5 und die senkrechte Halbachse 4. Stelle ihre Gleichung auf und bestimme die Brennpunkte.

Lösung: Die verschobenen Koordinaten ergeben (x − 1) und (y + 2). Die Nenner sind 5² = 25 und 4² = 16. Daher lautet die Gleichung (x − 1)²/25 + (y + 2)²/16 = 1. Mit c² = 25 − 16 = 9 folgt c = 3. Die größere Achse ist waagerecht, also sind F1(-2|-2) und F2(4|-2).

  • Beispiel: In einer Lösung wird die Parabel y = 2(x + 3)² − 4 als nach unten geöffnet mit S(3|-4) beschrieben. Finde und korrigiere die Fehler.

Lösung: Der Faktor 2 ist positiv, daher öffnet sich die Parabel nach oben. Wegen des umgekehrten Vorzeichens in der Klammer lautet der Scheitelpunkt S(-3|-4).

Übungsaufgaben der Stufe 2

Aufgabe 3
Ein Kreis besitzt den Mittelpunkt M(3|-1) und verläuft durch P(3|5). Bestimme seinen Radius und stelle die Gleichung auf.
Aufgabe 4
Eine waagerecht geöffnete Hyperbel hat M(-2|1), a = 4 und b = 3. Stelle ihre Gleichung auf, berechne c und gib die Brennpunkte an.

Zusammenfassung

Was muss man wissen/können?

Du solltest die vier Kegelschnitte erkennen und ihre Entstehung am Doppelkegel erklären können. Aus Gleichungen musst du Mittelpunkt oder Scheitelpunkt, Größen und Öffnungsrichtung ablesen. Ebenso solltest du aus gegebenen Eigenschaften eine passende Gleichung aufstellen können.

Was können anschließende Themen sein?

Wiederhole Aufgaben, bei denen du noch unsicher bist. Nutze die Applets der einzelnen Kapitel, um Gleichungen und Zeichnungen miteinander zu vergleichen.